奇妙的无穷级数

———读《数学与生活》有感

这个暑假，我看了一本很有人情味的“数学入门”书——《数学与生活》，感受颇多。

这本书的作者远山启是日本知名数学教育家，是日本数学教育议会创办人。他在学术方面的造诣很深，著述颇丰，除了我看的《数学与生活》外，还有《无限与连续》《现代数学对话》《函数论》等。本书共分为14章，从数学的诞生讲起，接着是加减乘除，其次是正负数和代数，然后是平面几何和圆，还有复数和函数，最后还有微积分和积分方程，循序渐进，层层递进，在学习数学的同时既感受了数学的魅力，也了解了诸多数学故事。

面大半部分我都已经系统的学习过了，看过书后又有了新的认识和体会，后面三章微积分的部分我很努力地想看懂，但其中的部分思想我还是接受不了，而夹在中间的这一章——《无穷的算术——极限》对我来说是既新鲜又好玩。

本章利用运动来解释无穷，我觉得很妙——在一段时间内，物体从a点平移到了b点，这就出现了线段ab，也就是说，在一个有限的时间里，一个物体经过了线段ab上无数多个点，妙啊！接下来就讲到了那个人永远追不上乌龟的悖论——假设人与乌龟相距10米，人跑到乌龟所在的位置上时，乌龟向前爬了1米；人再跑到乌龟所在的位置上时，乌龟又向前爬了1/10米……这样下去，人与乌龟之间一直有着一段很小但却无法逾越的距离。这是一个看似没毛病的悖论，但是仔细一想，简直是大错特错了，照这个道理，人永远不可能被子弹打死。

那其中到底有什么奥秘呢？

这个悖论引起了数学家们的注意，他们从中得出，“无穷”是个怪物，如果让它睁了眼，会有很多麻烦当年数学大家欧几里得写《几何原本》时，尽量避免了图形的移动也正是因为这一点。这样就引出了无穷级数这一新事物。也就是一个算式：a+a*r+a*r*r+a*r*r*r……=a/(1-r)。这一个非常玄学的算式，就是由这个悖论中提取出来的。

接下来的另外两个算式更令我傻眼。一个是1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6……，还有一个是1-1+1-1+1-1+1……。

先来说第一个算式，若是把他两个两个分成一组来算的话，可以得到原式=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+……，不难看出，每个括号里都是一个正数，所以结果必定大于0。但是，换个角度看，把加的数和减的数分开，就可以得到1+1/3+1/5+……-1/2+1/4+1/6+……，我们都知道，一个算式同时加减同一个多项式结果不变，那么给上面这个算式同时加减1/2+1/4+1/6……就可以得到原式=1+1/2+1/3+1/4+……-1+1/2+1/3+1/4+……=0。同一个算式，用两种不同的方法算出来答案尽然不一样，奇妙吧！

再来看第二个式子，若是将它也两个两个分成一组，那就得到1-1+1-1+……，不难看出结果为0。要是将第一个1单独拿出来再分组，那就得到1-1-1-1-1-……，那么结果就显然等于1了。要是运用一些代数的思想，设a=1-1+1-1+1……，那么2a就可以用错位相消法算出等于1，那么原式的答案a就等于1/2了。同样一个式子，三种不同的方法尽然算出了三个不同的答案，这无疑颠覆了我对数学的认知，最后一种方法竟然让我得出若干个整数的加减混合运算答案可以是个分数！“无穷”真是个极有魅力的怪物！

方法都没有问题，那么这到底是怎么一回事呢？

法国数学家柯西第一个解释了这一现象。柯西认为，无穷的加法本就是没有答案。像刚刚的第一个算式，它只能一个一个慢慢算，它的结果如果一直算下去会非常接近1/2，但是永远得不到答案，末尾带有省略号的式子本就是个悖论，若是永远地绕在里面，那么自闭症就在向你招手了。所以柯西他认为，无穷的算式的结果本就是我们人自己空想出来的一个游戏而已，玩玩就好，认真你就输啦。

那么这种极限思想是不是就都是错的呢？显然不是，还记得我们小学时是如何求圆的面积了吗？不也是把圆沿着半径切成无数份，然后重新拼成一个近似的长方形来求的，这里面用的就是微分的思想。我个人认为，无穷和极限这种东西，只可以把它当做一种思想方法，若是把它写成一个实实在在的算式，那么它就真的是个怪物了。

我忽然想到了一个上学期我们学过的图形——“克特雪花”科赫雪花。它的周长在不断的变大，是无限的；但是它的面积却永远也超不过起始三角形的那个外接圆，是有限的。也就是说，克特雪花是一个在有限面积里，周长无限的图形，是不是很玄学！对此我不禁感叹一声：“妙啊！”

后面的内容还没怎么看懂，以后还是要再重复阅读的。这本书用风趣而又通俗易懂的语言给我们讲述了许许多多的数学定理和论证方法。这本书真是让我受益匪浅感受连连，让我接受起来并不是那么吃力。不得不说，《数学与生活》真是一本好书。